德邦国际数学抽象之美

01　前言德邦国际

众所周知，数学的一个重要特点就是抽象．其实从小学开始，或者说，人类发明发展的开端，数学就是抽象的．最简单的计数：最早的结绳记数，就是一种抽象：不管是个人，个苹果，只老虎，都是用表示．

抽象是数学的优势．例如，我们只需要学习，而不需要把个人个人个人、个苹果个苹果个苹果等等都学一遍．

02　公理化

“公理化”是数学的抽象的一种高级形式．公理化是从少数基本假设和规则出发，逻辑地构建起整个理论．有时候我们会在某个数学对象得到某个结论，这个结论只是由这个数学对象的一些性质就可以证明出来，那么满足这些性质的其他数学对象，也可以平行地得出相应的结论．

这是不是有点像“个人+个人个人”，相应的结论就是“个苹果个苹果个苹果”？如果把这种情况也抽象成类似于""这样的结论，就是数学中的公理化方法．

下面我们以向量为例，简单认识一下公理化方法．

03　几何向量及抽象化

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几何向量有这些性质(表示实数，表示向量)：

；德邦国际

；

存在零元素，使得对每一个向量都成立；

每一个向量都存在一个负元素,使得，是指(3)中的零元素；

；

．

几何向量有一个内积运算，内积运算满足以下性质：

；

,且只有当时，才会等于．

这些性质对于几何向量都是很明显的．接下来，抽象的操作来了：

如果有某个集合，它的元素(及运算)也满足到，那么这个集合就叫做(实)向量空间，这些元素也叫做向量．如果还能满足到，那么这个集合就叫做内积空间．(如果这个内积空间加一个叫做"完备"的条件的话，就是大名鼎鼎的空间．)

在这个定义之下，几何向量是向量，但向量不一定是几何向量．

举个例子，函数也可以是向量．不？“函数”和那个“有大小有方向的量”八竿子打不着的关系，能是一回事吗？但是如果你把上面到中的和看作是函数，还真就是满足的．所以说，函数还真的可以是一种向量．

那么，函数空间是不是内积空间呢？这个时候，我们需要先定义一个内积运算．我们把函数的定义域局限在一个闭区间上，为了便于讨论，假设函数都是连续的．这个时候，我们定义两个函数的内积：

这样的话，到也是很容易验证满足的．例如，就是

所以说，函数空间也可以看作是一个内积空间．

04 不等式

看到这里，可能很多人会想，把向量的一堆基本性质附会到函数那里去，花里胡哨的一点实用意义都没有．这就要回到文章一开始所说的：有时候我们会在某个数学对象得到某个结论，这个结论只是由这个数学对象的一些性质就可以证明出来，那么满足这些性质的其他数学对象，也可以平行地得出相应的结论．

例如：我用到和到证明不等式．

在几何向量中，由很容易就证出，其中表示向量的模．其实，如果只用前面的性质到和到，也是可以证出这个不等式的．下面给出简略的证明，注意，因为只用到到和到，所以提到的向量可以是几何向量，也可以是其他抽象的向量．

略证：如果有一个是零向量，结论是成立的，我们可以假设它们都不是零向量．

首先，可以证明，最多只有一个实数能使．如果存在的话,我们可以说共线．这一结论不难证明，如果有需要的话，可以在这里划线．

然后，考虑关于的方程．根据，如果共线的话，这个方程有且只有一个解，如果不共线，这个方程就无解．

利用化简，这个方程可以化为

这是一个二次方程，根据前面的分析，这个方程最多只有一个解，所以判别式，即，证毕．

注意，这个证明仅依赖于到和到,也就是说，对于各种各样的向量都成立，这就是不等式．作为例子，我们将其应用于函数空间，就得到

很神奇有没有？我们只是验证了积分运算满足简单的性质到和到，然后再也没有用到积分运算的技巧，却得到了一个积分不等式，而且这个不等式在物理和计算机等领域有广泛应用．这就是公理化的力量，数学的抽象之美．

05　最后

数学上还有大量的例子能满足这些性质，可以想象，不等式可以毫无压力地平移到相应的向量空间去．

以上是向量的例子，而这种公理化方法在现代数学中大量运用，抽象之美，遍布数学世界的每一个角落．

在撰写论文《》时，笔者用到了上面定义的函数内积的不等式．有兴趣可以了解详情。

作者：陈日辉

编辑：陈日繁

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发布于：广东省

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